ПРЕДМЕТНЫЙ РАЗГОВОР

Чему можно научиться, придумывая задачки по математике

Мы знаем, как важно человеку научиться самому ставить перед собой задачи, выделять проблему, условия, формулировать вопрос. Но нельзя этого достичь, находясь вне подобного опыта. Ученики традиционной школы чаще решают задачки, составленные взрослыми, чем получают возможность самостоятельно придумать себе задачу, поставить цель. Оказывается, положение дел можно изменить, начав, к примеру, с уроков математики.

По правилам игры

Многие знают, с каким желанием пяти-шестиклассники готовы придумывать задания для игр, испытания, конкурсы для одноклассников. Только брось клич: «Давайте придумаем…» Правда, вслед за шумным, энергичным обсуждением не всегда следуют конкретные действия. А если речь идет об уроке, где недостаточно просто пофантазировать, нужно еще чему-то научиться?
Совместное творчество на уроке похоже на придумывание игры: сначала договариваемся о правилах, потом играем, получая удовольствие от процесса, и одновременно смотрим, все ли играют честно. Если игра действительно в радость, хочется ее продолжать, но при этом и усложнять условия. Так какой же должна быть игра, чтобы можно было поставить знак равенства между ней и учебной деятельностью?

Условия оговариваем заранее

Однажды пятиклассник предложил: «Давайте будем сами придумывать математические задачи. Это интересно».
Известно, что путь к осознанному решению задач лежит главным образом через их составление. Процесс решения включает в себя перевод словесного текста на язык математики (построение математической модели), математическое решение, а затем анализ полученных результатов. Для «придумывания» задач требуются совсем другие компетентности, чем для их решения. Это владение языком, освоение логики, рефлексии.
На уроке обсуждались в тот момент числовые выражения. К сожалению, в учебниках математики мало задач, решаемых с помощью числовых выражений. К тому же сюжеты их неинтересные, взяты из взрослой жизни: про банки с компотом, которые закручивает мама, про бассейны, наполняемые через трубы разного диаметра. Тогда пятиклассникам дается задание: придумать задачу, соответствующую трем условиям:
1. Сюжет задачи должен быть взят из реальной жизни.
2. Задача должна решаться не менее чем в четыре действия.
3. Требования к оформлению. Задача должна быть написана на отдельном листе.
Младшему подростку трудно удерживать много критериев во время работы. Именно поэтому их должно быть не больше трех. Кроме того, критерии должны быть понятны и доступны для проверки, поскольку ученикам нелегко обосновать свою точку зрения. Учитель, выступая в роли организатора процесса, побуждает обосновывать предложения, не навязывая, а аргументируя свою точку зрения.
Перед тем как ученик предъявляет свою задачу, класс проверяет, выполняются ли оговоренные условия. И выясняется, что несколько человек задание не сдают: у кого-то задача только в три действия, а кто-то забыл переписать текст из тетрадки.
Но вот разбирается первая задача с точки зрения вышеупомянутых условий.

У собаковода было три собаки: доберман, далматинец и такса. Они ощенились. У таксы было в два раза меньше щенков, чем у добермана, а у далматинца на два щенка меньше, чем у таксы и добермана вместе взятых. После выставки собаководу удалось продать двух щенков таксы, одного щенка добермана и четырех щенков далматинца. Осталось девять щенков. Сколько щенков каждой породы было в помете? (Саша)

Возникает спор, реален ли сюжет. Бывает ли у одного собаковода столько разнопородных собак? Может ли доберман родить столько щенков? Придумывание сюжета задачи является сложной деятельностью. Это раскачивает сознание, поскольку нужно не только придумать и описать конкретную ситуацию, но и «завернуть» в придуманный сюжет уже известную математическую составляющую, способ решения.
Часто ученики задают вопросы авторам, если формулировки неоднозначны:
– Что ты имел в виду? Как понять твою фразу?
Кто-то просит помочь:
– В твоей задаче есть дроби, а я не умею с ними работать. Что мне делать? – Это уже касается следующей задачи, не про щенков, естественно.
Авторы записывают все комментарии, вопросы, замечания одноклассников, корректируют при необходимости условия своей задачи. Ученики самостоятельно решают готовые задачи. Затем дают отзывы.

Этапы работы

Постепенно в ходе обсуждений возникает следующая схема работы:
1. Придумывание задачи, самопроверка по трем критериям.
2. Проверка в классе: смогут ли другие решить задачу?
3. Правильно ли сам автор решил свою задачу, предвидел ли разные способы ее решения?
4. Обсуждение: как можно «усовершенствовать задачу»?
5. Доработка задачи по советам и рекомендациям.
Выстраивается рейтинг задач: от «тяжелых» (их смогли решить один-два человека) до «легких» (решили 20 человек и более).
Ученики придумывают бесконечное множество задач азартно, увлеченно. Какова их мотивация? Вместо надоевшего учебника неожиданная незнакомая, но доступная деятельность по сочинению всяких историй с числами. Это не просто оживляет урок, но превращает его в живую математику. Скорее похоже на прививку увлечения математикой. Придуманные задачи – каждый раз неожиданность для учителя и для класса. Встреча с ними происходит на разной глубине, которая задается и взрослым, и ребенком.
Вот несколько примеров задач, придуманных пятиклассниками.

В Аптекарском саду есть пруд прямоугольной формы. Его площадь 96 кв. м. Одна его сторона на 20 м больше другой. Найти размеры этого пруда. (Настя)
5 «Б» поехал по России. В классе было х человек. В Воронеже 1/8 класса перекупались и остались лежать в больнице. В Липецке 1/5 часть класса ушли за «Читосом» и отстали от группы. Из оставшихся учеников 7 решили навестить родственников друга. Сколько человек из 5 «Б» дошли до цели? (Света)

Пятиклассникам трудно написать отзывы на задачи. Стоит отдельно обсудить эту форму работы. «Какие задачи тебе понравились? Чем? Выполнены ли автором поставленные условия, есть ли другие способы решения, какой эффективнее, как можно доработать задачу, ее условие, сюжет?»

Образовательные эффекты

В конце ряда уроков по составлению и решению задач учитель предлагал ребятам назвать умения, которые они развивали в себе на занятии. Ребята говорили, что для них это была трудная, но интересная работа, в процессе которой можно было не только тренировать себя в умении решать задачи, но и сравнивать себя с другими, проверять, на что ты способен. «Такая работа дает возможность почувствовать себя более уверенно, она пригодится в дальнейшем, потому что учишься искать сюжеты в жизни, формулировать задачи и проблемы».
Все высказывания учеников фиксировались на доске. В конце первого месяца работы в 5 классе на доске был список умений, много превосходящий ожидания учителя. Учитель создавал условия для развития умений строить модели задач, а ребята при этом практиковались в умении работать в заданном темпе, не отставать, удерживать внимание, не отвлекаться.

Риски

Младший подросток нуждается в одобрении со стороны взрослого, быстро угадывает желания учителя и говорит то, что требуется. Такое некритичное отношение хорошо отслеживается, например, в процессе сопоставления самооценки и результата самостоятельной работы, в которой нужно показать названные умения. Задача учителя не в том, чтобы поймать ребенка на несоответствии («Ты думаешь, что хорошо умеешь делить, а в работе у тебя много ошибок на это действие»), а показав несоответствие, спокойно обсудить и помочь составить программу дальнейших действий.

Межпредметные связи

Во время обсуждений дети делились своими сомнениями, неуверенностью в умении составлять математические модели. Может быть, это связано с неумением анализировать условие? А нельзя ли проиграть задачу, чтобы поучиться понимать условие? Решили попробовать составить ряд спортивных задач (на примере простейших задач на дроби) и проиграть их на физкультуре. Заодно выпал редкий шанс посотрудничать учителям математики и физкультуры.
Оказалось, что вполне приемлемая на бумаге задача совершенно иначе выглядит в настоящем спортзале. Вот Света придумала такой сюжет:

Наш класс играл в пионербол. Моя команда выиграла со счетом 16:14. Я заработала для команды 5/16 от результата, другой игрок команды забил 2/6 от результата, а четыре других игрока – оставшиеся. При этом каждый из них заработал одинаковое количество очков. Сколько забил каждый из четырех игроков?

Сколько бы ни летал мяч под потолком, не нашлось решения во множестве натуральных чисел. Задача Арсения, напротив, решается разными способами из-за неоднозначности условий:

В классе 25 человек. 1/5 играют в баскетбол, 1/5 бегают, 1/2 оставшихся играют в хоккей, два человека играют в бадминтон. Сколько человек отсутствуют?

Ребятам интересна история, особенно античность, Древний Египет. Но в учебниках, учебных пособиях практически нет задач с историческим сюжетом и математической составляющей, посильной пятикласснику. Почему? Независимо от уровня развития цивилизации человек всегда попадает в такие ситуации, которые можно перевести на язык математики, построить модель и работать с ней средствами, доступными ученикам 5–6 классов. Косвенно текст задачи укажет на степень понимания ребенком эпохи. Почва для диалога математика с историком.
Итак, сюжет египетский, математическая основа – задача на дроби.

Жрица считала звезды. За три ночи она насчитала 150 звезд. В первую ночь она насчитала 1/5 от общего числа, во вторую – 1/3 от общего количества, а в третью ночь – оставшиеся. Сколько звезд она насчитала в 1, 2, 3-ю ночи? (Света)
У фараона было некоторое количество танцовщиц. 2/3 из них уехали в Вавилон. 3/5 оставшихся танцовщиц отправили в Финикию.1/2 оставшихся – в Ассирию. Последние пять танцовщиц уехали в Израиль. Сколько танцовщиц было у фараона? (Саша)

Рассчитывая свои силы...

Учитель:
– Ваша задача: составить свою программу тренировки по теме «Умножение смешанных чисел». С чего начнете решать такую задачу?
Многие ребята сразу кидаются выбирать себе задания: кто 10, кто 2–3, не обдумывая цели, условий. Сколько заданий нужно выбрать? Почему? Педагог предупреждает: не завышайте и не занижайте объем заданий, соотнесите его со временем, взвесьте свои возможности.
Младший подросток противоречив. С одной стороны, ученики упрекают преподавателя в недостаточной строгости (нужно давать меньше выбора, больше требовать). С другой – хитрят, увиливают, стараются избежать ответственности.
Описанный прием работы позволяет каждому, ничего не боясь, заявить о себе: моя норма вот такая. И разворачивается на уроках деятельность, в которой главный герой–ученик определяет для себя границы (где, сколько), способы работы (один, в паре, в группе, со взрослым).
– Придумал задачу, а решить не могу – помогите кто может!