УЧЕБНИКИ № 91
Оттачивать логическое мышление
Галкин Е.В.
Нестандартные задачи
по математике.
Челябинск: Взгляд, 2004
Пособие Е.В.Галкина с весьма
заманчивым названием, с одной стороны, обещает на
своей обложке подготовку к ЕГЭ по части С – самой
сложной части единого экзамена. С другой стороны,
читатель, ознакомившись с аннотацией, узнает, что
все же основное назначение книги – подготовка
школьников к математическим олимпиадам и устным
вступительным экзаменам по математике в
технические вузы. Необходимо сразу сказать, что
обеим задачам книга вполне соответствует.
Книга содержит более тысячи задач различного
уровня (как правило, они расположены в параграфе
по возрастанию сложности). Перед параграфом
кратко изложена теория, вся остальная часть –
задачи, некоторые из них разобраны довольно
подробно. Также удачно введены автором
обозначения некоторых задач – «о» – опорные или
«в» – важные (к этим задачам приведены ссылки на
дополнительную литературу (61 ссылка!)). Большая
часть задач совершенно не похожа на школьные. Это
те задачи, которые требуют нестандартного
мышления, изобретения иного способа решения,
отличного от тех, которым учат в стандартной
школьной программе. Именно такие задачи могут
быть предложены на вступительных экзаменах в
вузы с дальнейшим глубоким изучением математики.
Книга разделена на пять глав: тождества;
уравнения и системы уравнений; неравенства;
задачи по тригонометрии; другие задачи по
алгебре. К сожалению, в книге рассматриваются
только задачи по алгебре. (Причем совсем нет
таких важных тем, как логарифмы, степенные
выражения, производная.)
Каждая из глав разделена на параграфы, где
представлены задачи на различные методы их
решения. Перед каждым параграфом стоит
обозначение, ученикам каких классов можно давать
задачи из данного раздела. Достоинством книги
можно считать то, что разобранные задачи вовсе не
«указывают» точный путь решения остальных задач,
они требуют дальнейшего применения смекалки и
нестандартного мышления. Все задачи снабжены
ответами в конце книги, некоторые из них –
решениями или указаниями.
Бросается в глаза неравномерность разработки
разных разделов математики. Довольно подробно в
книге освещены текстовые задачи – как на
движение, так и на смеси, проценты, работу; задачи,
не попадающие под классификацию (различные
операции над числами). Широко представлен спектр
задач на применение метода математической
индукции, которого в школьной программе нет, но
который очень важен при выполнении многих
олимпиадных заданий. Хорошо представлены
нестандартные задачи на арифметическую и
геометрическую прогрессии (как по отдельности,
так и одновременно), которых в школьной программе
также нет, а те, что есть, решаются только «по
определению». Большое внимание уделяется умению
оперировать с многочленами (от нескольких
переменных), выполнять тождественные
преобразования над ними, доказательству
различных тождеств (как с одной, так и с
несколькими переменными).
Во второй главе приведен замечательный набор
нестандартных систем уравнений, который будет
безусловно полезно прорешать всем, кто
собирается сдавать вступительную математику в
технические вузы (не только участникам олимпиад).
Также там представлены задачи на решение
нестандартных уравнений высоких степеней как с
одной переменной, так и с несколькими, как
определенных, так и с параметрами (одним или
несколькими).
В главе «Неравенства» находится хорошая
подборка задач на сравнение чисел и числовых
выражений (что также может сильно пригодиться на
вступительных экзаменах), доказательство
буквенных и числовых неравенств с одной и
несколькими переменными различными способами, в
том числе с помощью малоизвестного школьникам
неравенства Бернулли, Коши-Буняковского. Правда,
с ними следует быть крайне осторожными при
использовании на экзаменах: эти неравенства в
школьную программу не входят, так что на устном
экзамене могут попросить доказать их в общем
случае (введением тригонометрической
переменной), а на письменном – попросту не
засчитать решение задачи.
Задачи на тригонометрию радуют своим
количеством. В задачах затронуты такие важные
темы, как решение тригонометрических неравенств
с помощью производной, решение треугольника,
тригонометрические системы уравнений,
тригонометрические неравенства, уравнения и
неравенства с несколькими переменными,
вычисления тригонометрических выражений без
помощи калькулятора, доказательство
тригонометрических тождеств, различные
уравнения и неравенства с обратными
тригонометрическими функциями (о природе
которых школьники обычно имеют довольно смутное
представление). Но, к сожалению, при всем
многообразии эти задачи не охватывают всего
спектра возможных нестандартных заданий на эту
тему.
Последняя глава содержит задачи на нахождение
наибольшего и наименьшего значения различных
выражений (с одной и несколькими переменными):
функций, сумм, последовательностей, численных
выражений; задачи на иррациональные числа;
функциональные выражения (выражения, в которых
неизвестной является некоторая функция); задачи
на непрерывность и дифференцируемость функции,
которые по своей сути уже относятся к вузовским
задачам; задачи на целую и дробную часть числа.
Это весьма удачное пособие для подготовки к
школьным олимпиадам (регионального, городского,
даже российского уровня) и устным турам
вступительных экзаменов по математике
технических вузов все же не может
рассматриваться как универсальное из-за
неравномерной проработки различных разделов
математики.
Оно может быть рекомендовано как отличная основа
для проведения школьных кружков по математике.
Правда, использовать его может только хорошо
подготовленный преподаватель, потому что
некоторые из задач довольно сложны для понимания
школьников. Более того, книга настолько необычна
в подборе оригинального материала, что даже
самостоятельные занятия по ней лучше проводить,
как говорится, под присмотром преподавателя. В
целом же книга формирует специфический взгляд на
нестандартную математическую задачу, учит
быстро анализировать и оттачивает логическое
мышление.
Ваше мнение
Мы будем благодарны, если Вы найдете время
высказать свое мнение о данной статье, свое
впечатление от нее. Спасибо.
"Первое сентября"
|