ПАРАДОКСЫ ПРОФЕССИИ

В свое время манифест «Педагогики сотрудничества» подчеркивал: «В школе всегда были учителя-предметники и учителя-воспитатели: одни идут с предметом к детям, а другие с детьми к предмету. Вот это и есть сотрудничество с детьми».
Но не можем ли мы сегодня взглянуть на это разграничение, не столько противопоставляя, сколько объединяя тех и других?
В том же манифесте был специально выделен (хотя почти не расшифрован) тезис, связанный с «идеей соответствующей формы», с тем, что урок должен по самой своей форме отвечать изучаемому предмету.
Наша новая рубрика связана с попыткой приблизиться к расшифровке этого тезиса. А также с попыткой рассмотреть, что важного высветилось в школьных предметах за последнее десятилетие, об их обнажившихся проблемах, об их приоткрывшихся особых педагогических возможностях.
Статья, открывшая рубрику, была опубликована в 64-м номере «Первого сентября» за прошлый год. Сегодня – вторая публикация.

Вообразить... бесконечность!
Что может математика, если не бояться задавать вопросы

С чего должна начинаться школьная математика? Принято считать – с навыков элементарного счета. С того, что пригодится в жизни... Все мы в свое время прошли этот курс начальной счетной математики, но вот вопрос: почему лишь немногие из нас увлеклись этой самой математикой, почувствовали особую красоту ее построений или пережили состояние математического азарта?
Может, дело в том, что для большинства детей математика не раскрылась как пространство личных жизненных смыслов? У кого-то само собой получилось, а кому-то нужна помощь взрослого. И не в тренировке счетного навыка помощь, а в том, чтобы ребенок почувствовал: «Математика – это про меня!» Ведь можно задачки из учебника решать, а можно свою повседневную жизнь увидеть как множество интереснейших математических задач – был бы рядом умный взрослый, способный помочь провести математические исследования окружающего мира. Например, ответить на вопрос... какой будет суммарный вес всех домашних животных, которые есть у твоих одноклассников? Или какой длины получится линия, если все дети класса возьмутся за руки? Или придумать совместно с учителем и друзьями неисчерпаемое множество других задач, требующих и коллективного взаимодействия, и способности мыслить, ну и, конечно, каких-то счетных навыков... Хотя счетные навыки при этом совсем не самое главное.
Назовем это математическим проектированием или другими умными словами – не важно. Важно, чтобы ребенок почувствовал: математика способна дать его жизни дополнительные краски и дополнительное игровое измерение. А еще чтобы он почувствовал, что математика – это особая философия, которая пытается придать миру числовую размерность и исследовать это самое числовое устройство мира. Ведь ребенку семи или восьми лет крайне интересно философствовать об устройстве мира, о его тайнах и парадоксах – жаль только, что школа не умеет пока откликаться на эту философскую потребность ребенка (в том числе и с помощью математики).

Аксиома сложения

Приведу в качестве примера две арифметические аксиомы – аксиомы сложения. Мы обычно как-то не задумываемся, что у арифметики есть свои аксиомы, но они тем не менее есть, и в своей предельной, аксиоматической простоте выводят на самые сложные вопросы человеческого бытия.
Аксиома № 1.
Любые числа могут быть сложены друг с другом.
Аксиома № 2.
Любое число может быть представлено как сумма других чисел.
Взрослому человеку очевидна истина этих двух аксиом: а как же иначе? В их пользу свидетельствует весь жизненный опыт, но вместе с тем это именно аксиомы, которые невозможно доказать. Иными словами, это суждения, в которых представлены некие математические очевидности.
Однако ребенок – это такое существо, которому вовсе не очевидны истины взрослого опыта. Надо только помочь ему удивиться – и удивиться вместе с ним. Тогда-то и появится вместо скучнейшего урока математического счета восхитительный и для детей, и для учителя урок математической философии.
«Скажите, дети, есть ли такие числа, которые невозможно было бы сложить друг с другом?!»
Для взрослого ответ на этот вопрос совершенно очевиден: «Ну конечно, нет! Какими бы ни были числа, их всегда можно друг с другом сложить!»
Но для ребенка-первоклассника это совсем не очевидный ответ. Во всяком случае, здесь есть о чем подумать...
Хотя многие дети вначале попытаются тем или иным образом уйти от ответа: «Я не умею складывать большие числа!», «Меня не учили, я не знаю!», «Может, такие числа и есть, но я этого не знаю!» или: «Откуда же я могу знать, есть ли такие числа?!».
И тогда продолжение разговора зависит от настойчивости, упорства и изобретательности учителя.
«Я же не прошу вас назвать эти числа, и тем более я не прошу вас их сложить – все, о чем я прошу вас, это подумать: возможно ли такое число, которое нельзя было бы сложить ни с каким другим? Или так: возможны ли два таких числа, которые нельзя было бы сложить друг с другом?»
То есть вопрос не об умении складывать и не о правильности сложения, а о самой возможности сложения. О сложении, если можно так выразиться, в принципиальной плоскости. Совсем не важно, сколько получится – важно понять, можно ли в принципе что-то с чем-то сложить. Между прочим, именно из таких, наивных, казалось бы, вопросов и складывается существо математики.
Важно только никуда не торопиться – философия по своей природе неспешна.
«Вот, смотрите, я обвел в тетради 5 клеточек. И могу пририсовать к ним еще 10. Или 15. Или сколько получится. И это будет операция сложения – сложения одной группы клеточек с другой. И не важно, сколько их окажется в результате – важно, что я в принципе могу это сделать. Сложить 5 и 10. 5 и 7. 10 и 15... Я отчетливо вижу, что могу их сложить. Но всегда ли это так? Может, все-таки можно придумать такие числа, которые невозможно будет сложить?»
И вот наконец-то появляются первые ниспровергатели аксиом, которые начинают думать, а стало быть, предлагать свои варианты: «Это будет такое большое число, что мы не сможем его записать!» Или: «Это будет так много клеточек, что мы не сможем их нарисовать!» «Это будет страница больше нашей комнаты, больше нашего города!»
Теперь отбивается уже учитель: «Ну хорошо, а если складывать в воображении? Разве в воображении нельзя представить все что угодно? Давайте попробуем представить число такой величины, что его заведомо нельзя будет сложить ни с каким другим!»
Понятно, что учитель провоцирует. Его главная задача – заставить ребенка начать воображать. Потому что если не работает воображение – какая же это математика? Это еще Пифагор хорошо понимал: математика – способность переводить в символы работу воображения. Так что мы должны вообразить себе мир чисел и их взаимоотношений, и только после этого имеет смысл что-то записывать на бумаге. Например, с помощью цифр.
«Закройте глаза и представьте себе такое огромное число, какое только сможете! Пусть это будет число клеточек. Или число ваших любимых конфет. Вам совсем не надо знать имени этого числа – просто пусть это огромное, невероятное количество конфет, или тетрадных клеточек, или еще чего-нибудь предстанет перед вашим воображением. И пусть у каждого это будет что-то свое... Представили? А теперь попробуйте к этому бессчетному количеству конфет или тетрадных клеточек прибавить еще чуть-чуть! И совсем не надо пытаться их сосчитать. Просто добавьте одно к другому в своем воображении! Получилось?»
И потрясенные дети начинают наперебой рассказывать о результатах своего вообразительного эксперимента. О том, что и у кого получилось представить и как к представленному «невообразимому» (как это «невообразимому», коли удалось вообразить?!) количеству удалось что-то добавить. И о том, что, оказывается, можно складывать, но при этом... ничего не считать!
И о том, что да, похоже, каким бы ни было большим число (не важно, число чего – тетрадных клеточек, конфет или звезд во Вселенной), к нему всегда можно прибавить еще какое-то. Главное – это можно вообразить.
Правда, среди детей всегда может найтись маленький хитрец, который предложит коварный вариант типа: «А что, если одно число будет величиной с целый мир, то есть это будет число всего того, что есть во всем мире, – как быть тогда?»
Такой вот выход на вопрос о сущности мира и о сущности бесконечности. Бесконечен ли мир? Можно ли его в принципе сосчитать? Если да, если возможно конечное число, описывающее мир, – значит, и мир не бесконечен. А если мир бесконечен, то разве возможно такое число?
Весь жизненный опыт ребенка свидетельствует о том, что у всего без исключения есть конец, есть границы. А что же такое бесконечность? И можно ли вообразить бесконечность? С одной стороны, вроде бы нет – сознание «ломается» от такой попытки. Вообразить бесконечность – это как? Все, что мы ни вообразим, все равно будет иметь какие-то границы... Однако, с другой стороны, нельзя вообразить и отсутствие бесконечности. Во всяком случае, в математической модели Вселенной. Не получается вообразить число, к которому уже ничего нельзя прибавить! А это значит, что арифметическое сложение носит абсолютный характер, и это процедура, которая в своем пределе устремлена в бесконечность...
И ребенок, который только-только начинает заниматься арифметикой, переживает чувство трепетного восторга-ужаса перед этой грандиозной наукой, которая, оказывается, вовсе не ограничивается подсчетом каких-то там скучных вишенок и птичек, а распространяется на саму бесконечность, которую, оказывается, даже вообразить невозможно...

В глубины числа

Но у арифметической бесконечности есть и другая сторона. Другое, если угодно, направление.
«Существуют ли числа, которые нельзя представить как сумму других чисел? Может ли кто-нибудь назвать, придумать такое число, которое не состоит из других чисел?» – спрашивает учитель.
«Как это?»
«Смотрите, вот число пять. Не важно, чего именно «пять» – конфет, арбузов, мальчиков или тетрадных клеточек. Важно, что всякий раз можно сказать, из каких других чисел это число состоит. Вот я обвел в тетради фигурку из пяти клеточек, и мы можем по-всякому разбить ее на части: на один и четыре, на два и три... Так и пишем: 5=1+4, или 5=2+3... А теперь пусть каждый нарисует у себя в тетради любую фигурку из клеточек и попробует ее разбить на части... Смотрите, как просто!..»
Оказывается, это не только просто, но и интересно: рисуй себе в тетрадке любые фигурки и разбивай их на части... А потом считай клеточки и записывай... Надо же!.. И вправду, всякая фигурка легко разделяется на две или несколько частей...
Но вот дети вволю «напробовались», «наэкспериментировались» – можно вернуться к главному вопросу.
«Ну так как, есть ли такие числа, которые нельзя представить как сумму других?»
Теперь вопрос понятен. И тут же находятся дети, которые откликаются на него легким и быстрым «Да!», имея в виду число один. Любое число можно разбить, а вот один никак не разбивается!
«А разве одну клеточку нельзя разбить на части?»
«Конечно можно, но разве это будут числа?»
«Ну хорошо, смотрите. Вот я беру тетрадную клеточку и делю ее на две равные части. Как вам кажется, какое число клеточек теперь находится в каждой из получившихся частей?»
«Никакого!»
«Как же «никакого»? Ведь что-то от исходной клеточки в этих частях есть! Понятно, что в них нет целой клеточки, но там есть какие-то кусочки от клеточки, и они как-то называются...»
«Половинки!»
«Ну конечно, это половинки от одного! То есть не целые числа, а числа-кусочки».
И хотя это не целые числа, а только части от одной клеточки – это все равно числа. Числа, которые оказываются меньше одного (это же очевидно, что они меньше!). Если число один раздробить на части – как раз и получатся такие числа: дробные.
«Так что очень даже можно раздробить число один на части. И сумма этих частей будет составлять это самое число один... А знает кто-нибудь другие числа меньше одного?»
И тут выясняется, что дети кое-что знают. Знают, например, что есть слово «четвертинка» – оно означает четвертую часть от числа один.
А еще знают, что существует слово «треть» – третья часть от числа один. И даже может найтись «специалист», слышавший слово «восьмушка»... Не знают только тех символических средств, которые придумали математики для обозначения этих дробных чисел. Но символические средства ввести не проблема – было бы понимание! А чтобы возникло понимание того, что такое дробное число и как устроен мир дробных чисел, по каким законам эти дробные числа взаимодействуют друг с другом, никуда не денешься от графического моделирования и... от новых размышлений о бесконечности. Потому что только тогда, когда ребенок осознает ключевую математическую истину (и одновременно математический парадокс), что число один – это бесконечное (!) число, содержащее в себе бесконечное количество других чисел, он сможет по-настоящему восхититься и увлечься миром дробных чисел (как и чисел вообще). Стоит только ошеломленно представить себе, что в обыкновенной тетрадной клеточке... свернута бесконечность и что эту математическую бесконечность можно научиться исследовать и понимать!
И совсем важный для математики вопрос: это почему так странно устроен математический мир, что совершенно разные по размеру клеточки будут в итоге... обозначаться совершенно одинаковыми числами. Ведь мы можем принять за единицу и основу процедуры деления маленькую тетрадную клеточку, а можем нарисовать на доске огромную «клеточку» размером метр на метр. И точно таким же образом поделить ее на части. И это тоже будет деление числа «один»! А числа, образующиеся при таком делении, будут совершенно одинаковыми – при том что размеры получающихся «кусочков» будут совершенно различными. Да это же самые настоящие фокусы!
И мало ли еще математических парадоксов, от которых у первоклассника дух захватит и над которыми ему захочется поразмышлять. Например, над тем, что число – это не персональное имя, а.... что же, что же, как же это назвать?!.
Главное – чтобы захватило дух и возникло желание думать. Как у ребенка, так и у взрослого. И чтобы философские размышления о сущности и тайнах числа стали нормой математического урока – хоть в первом, хоть в одиннадцатом классе.
Тогда-то это и будет настоящая математика. Не математика мертвой цифири, а математика жизненных смыслов и головокружительных интриг.

Александр ЛОБОК

Ваше мнение

Мы будем благодарны, если Вы найдете время высказать свое мнение о данной статье, свое впечатление от нее. Спасибо.

"Первое сентября"