Вот такая математика!
Когда дети пытаются объяснить друг другу то,
что они узнали и поняли, их знания не делятся на
весь класс – а умножаются
Теперь мы каждое утро приходим в весеннюю
школу. Такую особенную, с распахнутыми окнами.
Совсем другое настроение. Не сентябрьские
надежды, не усталость третьей четверти – весной
хочется думать о смысле прожитого учебного года
и о подросших своих учениках. Так ли все вышло,
как мечталось? Воплотились ли замыслы? Мы в
редакции заметили, что именно в эти дни учителя
склонны говорить о своей профессии
торжественнее, возвышеннее, чем обычно. Может
быть, потому, что близки к осознанию хорошо
выполненной работы? Надеемся, дорогие читатели,
вы согласитесь с нами, прочитав на этой странице
два монолога своих коллег – учителей математики
и словесности.
Перед любым учителем, а перед учителем
математики особенно, стоит вопрос, как сделать
так, чтобы в первую очередь дети учились
понимать, мыслить, думать и задумываться.
Порой только внимательное наблюдение за
детьми, за поворотами их мыслей, за резкой
переменой их поведения и дает жизненную силу для
поиска ответов на возникающие вопросы, а заодно и
информацию для направления этих поисков. Кстати,
и вопросы букетами вырастают все оттуда же, из
наблюдений.
Попытаюсь ими, наблюдениями, поделиться.
Только не забывайте, что я учитель, то есть тоже
участник того, за чем наблюдаю. Это особые
наблюдения, наблюдения изнутри.
Слышу во время работы в команде, например,
такое:
– Вот я знаю, что можно переносить из одной
части уравнения в другую все что угодно, сменив
при этом знак. Это я знаю точно, вот совершенно
точно. А почему так – я не знаю.
Тут же находится кто-то, у кого есть вариант
ответа на “почему так?”. А если не находится, то я
не спешу объяснять сама.
Иногда бывает так, что класс уже другим делом
занят, вдруг кто-то:
– А я понял, почему вот там так надо было
поступать!
И мы возвращаемся. Это очень важно. Как яблоки
бывают скороспелые, а бывают поздние, но у
каждого свой аромат и свои преимущества, так и
мысли.
Вот, например, задача № 552 (Математика-5,
Виленкин Н.Я. и др.): “Расстояние между двумя
селами 18 км. Из них в противоположные стороны (в
старом издании учебника – “в разные стороны”)
выехали два велосипедиста…”
– О.И.! Тут непонятно, как решать: то ли они
удаляются, то ли навстречу друг другу едут, –
говорит Володя.
– Да, действительно, – подключается другой
Саша, – еще и вот так может быть. – Рисует на
горизонтали две точки, обозначающие села, и от
одной точки – стрелку вверх, а от другой – вниз.
– Это ведь тоже противоположные направления,
правда?
В результате особым образом организованной
работы детей с книгой они с любой из них вступают
в диалог, общаются, то есть возражают,
сомневаются, радуются обнаруженным ответам на
мучившие вопросы, удивляются и апеллируют к
мнению книги во время споров и обсуждений.
Учебник математики не исключение.
У класса, про который я сейчас рассказываю, есть
важная особенность: здесь идет попытка
осуществления Вероятностной модели образования,
автором которой является Александр Лобок,
кандидат философских и доктор психологических
наук из Екатеринбурга.
В рамках этой модели образования удалось
прожить с детьми в начальных классах и “другую”
математику. Идеи такой математики подробно
описаны автором А.М.Лобком в журнале “Школьные
технологии” № 6 за 1998 год. Этот номер журнала так
и называется – “Другая математика”.
У этих детей еще в первом классе был
сформирован образ отрицательного числа как
“дырки”, равной по площади какому-то
положительному числу, а образ положительного
числа, как вы уже догадались, – как некоторой
площади с предварительно выбранной единицей.
У некоторых из детей уже в первом классе, а у
других во втором и третьем не возникало проблем,
если появлялась необходимость сложить
отрицательные числа или числа с разными знаками.
А все потому, что была обыграна такая идея: если
соединить друг с другом (мысленно наложить друг
на друга) плоскость и “дырку”, у которых
одинаковы площади, то они исчезнут. Навсегда.
Насовсем. Этот факт просто поразил воображение
детей еще в первом классе. Им ужасно понравилось
складывать числа с “дырками от чисел”. Например,
если сложить 4 и (–6), то останется “немного
дырки”, если точно – “дырка” площадью 2, то есть
(–2). А если сложить (–4) и 6, то после взаимного
уничтожения четырех и минус четырех останется 2.
И вот в пятом классе случайно появилось такое:
–35 – (–4) = –31
Новая загадка. Как это получается? Как это
объяснить?
– Я поняла! Я поняла, почему так получается! –
воскликнула Маша С., а затем более сдержанно,
видимо, справившись с нахлынувшими эмоциями,
продолжила. – Это то же самое, что и от 35 отнять 4,
только в области отрицательных чисел, и
получается, как обычно: 31, только отрицательное.
Машино объяснение было настоящим открытием и
для нее, и для одноклассников, и для меня.
Появился и другой замечательный вариант,
логически вытекающий из другого образа
положительного числа и идеи, что вычитание – это
сложение с числом из противоположного мира.
Положительное число – это отрезок числовой
прямой. Соответствующая данному числу точка на
числовой прямой – это конец отрезка, отложенного
от нуля в сторону заданного положительного
направления. При таком подходе очень легко было
ввести образ функционирования знака “минус” не
только как “отнять”, но и как “симметрично
отобразить”, “отзеркалить” на прямой
относительно точки ноль.
Итак, еще одно объяснение ответа на загадку,
почему
–35 – (–4) = –31.
– Если 4 – 35 – это то же самое, что 4 + (–35), то по
такому же принципу –35 – (–4) – это то же самое,
что –35 + (– (–4)). А –(–4) – это дважды
“отзеркаленная” четверка, то есть в конце
концов просто четверка, и получаем: –35 + 4 = –31, –
такое рассуждение провела Надя, и оно ни у кого не
вызвало принципиальных затруднений.
Казалось, что дело идет к логическому
завершению в виде кучи примеров сложения и
вычитания с отрицательными числами, заданных на
дом, как вдруг поднятая рука:
– А я так и не поняла, почему 4 – 35 = –31? Как это
от четырех отнять тридцать пять? Это же ну просто
невозможно! Ну, никак! – это Надя К., она
второклассница, и у нас на правах гостя, но, как и
положено гостю, полноправная участница всего
происходящего в классе.
Если честно, то я слегка растерялась.
– Можно, я объясню Наде? – вызывается Маша П.
– Понимаешь, Надь, действительно нельзя от
четырех тридцать пять отнять, в этом мире нельзя.
А мы в другой мир попадаем. –31 – это
отрицательное число. Оно просто из другого мира,
и все.
Я слушаю Машу и удивляюсь, как тонко дети
чувствуют суть затруднения другого. Ведь Наде
было совершенно не важно, сколько здесь
получится, ей было непонятно, как вообще здесь
что-то может получиться.
И специально для Нади К. мы начинаем изображать
числовую прямую и вспоминать, как можно увидеть
на ней два разных мира чисел, как легко любое
число можно отправить в мир противоположный,
приписав перед ним знак “минус”. Я наблюдаю за
детьми и вижу, что глаза горят не только у Нади, а
и у всех остальных. Значит, все, что происходит,
происходит не зря.
Ольга Катышева,
учитель математики,
авторская академическая школа №186 –
Центр вероятностного образования
Нижний Новгород
Ваше мнение
Мы будем благодарны, если Вы найдете время
высказать свое мнение о данной статье, свое
впечатление от нее. Спасибо.
"Первое сентября"
|