Главная страница ИД «Первого сентября»Главная страница газеты «Первое сентября»Содержание №36/2000

Вторая тетрадь. Школьное дело

Вот такая математика!

Когда дети пытаются объяснить друг другу то, что они узнали и поняли, их знания не делятся на весь класс – а умножаются

Теперь мы каждое утро приходим в весеннюю школу. Такую особенную, с распахнутыми окнами. Совсем другое настроение. Не сентябрьские надежды, не усталость третьей четверти – весной хочется думать о смысле прожитого учебного года и о подросших своих учениках. Так ли все вышло, как мечталось? Воплотились ли замыслы? Мы в редакции заметили, что именно в эти дни учителя склонны говорить о своей профессии торжественнее, возвышеннее, чем обычно. Может быть, потому, что близки к осознанию хорошо выполненной работы? Надеемся, дорогие читатели, вы согласитесь с нами, прочитав на этой странице два монолога своих коллег – учителей математики и словесности.

Перед любым учителем, а перед учителем математики особенно, стоит вопрос, как сделать так, чтобы в первую очередь дети учились понимать, мыслить, думать и задумываться.

Порой только внимательное наблюдение за детьми, за поворотами их мыслей, за резкой переменой их поведения и дает жизненную силу для поиска ответов на возникающие вопросы, а заодно и информацию для направления этих поисков. Кстати, и вопросы букетами вырастают все оттуда же, из наблюдений.

Попытаюсь ими, наблюдениями, поделиться.

Только не забывайте, что я учитель, то есть тоже участник того, за чем наблюдаю. Это особые наблюдения, наблюдения изнутри.

Слышу во время работы в команде, например, такое:

– Вот я знаю, что можно переносить из одной части уравнения в другую все что угодно, сменив при этом знак. Это я знаю точно, вот совершенно точно. А почему так – я не знаю.

Тут же находится кто-то, у кого есть вариант ответа на “почему так?”. А если не находится, то я не спешу объяснять сама.

Иногда бывает так, что класс уже другим делом занят, вдруг кто-то:

– А я понял, почему вот там так надо было поступать!

И мы возвращаемся. Это очень важно. Как яблоки бывают скороспелые, а бывают поздние, но у каждого свой аромат и свои преимущества, так и мысли.

Вот, например, задача № 552 (Математика-5, Виленкин Н.Я. и др.): “Расстояние между двумя селами 18 км. Из них в противоположные стороны (в старом издании учебника – “в разные стороны”) выехали два велосипедиста…”

– О.И.! Тут непонятно, как решать: то ли они удаляются, то ли навстречу друг другу едут, – говорит Володя.

– Да, действительно, – подключается другой Саша, – еще и вот так может быть. – Рисует на горизонтали две точки, обозначающие села, и от одной точки – стрелку вверх, а от другой – вниз. – Это ведь тоже противоположные направления, правда?

В результате особым образом организованной работы детей с книгой они с любой из них вступают в диалог, общаются, то есть возражают, сомневаются, радуются обнаруженным ответам на мучившие вопросы, удивляются и апеллируют к мнению книги во время споров и обсуждений. Учебник математики не исключение.

У класса, про который я сейчас рассказываю, есть важная особенность: здесь идет попытка осуществления Вероятностной модели образования, автором которой является Александр Лобок, кандидат философских и доктор психологических наук из Екатеринбурга.

В рамках этой модели образования удалось прожить с детьми в начальных классах и “другую” математику. Идеи такой математики подробно описаны автором А.М.Лобком в журнале “Школьные технологии” № 6 за 1998 год. Этот номер журнала так и называется – “Другая математика”.

У этих детей еще в первом классе был сформирован образ отрицательного числа как “дырки”, равной по площади какому-то положительному числу, а образ положительного числа, как вы уже догадались, – как некоторой площади с предварительно выбранной единицей.

У некоторых из детей уже в первом классе, а у других во втором и третьем не возникало проблем, если появлялась необходимость сложить отрицательные числа или числа с разными знаками. А все потому, что была обыграна такая идея: если соединить друг с другом (мысленно наложить друг на друга) плоскость и “дырку”, у которых одинаковы площади, то они исчезнут. Навсегда. Насовсем. Этот факт просто поразил воображение детей еще в первом классе. Им ужасно понравилось складывать числа с “дырками от чисел”. Например, если сложить 4 и (–6), то останется “немного дырки”, если точно – “дырка” площадью 2, то есть (–2). А если сложить (–4) и 6, то после взаимного уничтожения четырех и минус четырех останется 2.

И вот в пятом классе случайно появилось такое:
–35 – (–4) = –31

Новая загадка. Как это получается? Как это объяснить?

– Я поняла! Я поняла, почему так получается! – воскликнула Маша С., а затем более сдержанно, видимо, справившись с нахлынувшими эмоциями, продолжила. – Это то же самое, что и от 35 отнять 4, только в области отрицательных чисел, и получается, как обычно: 31, только отрицательное.

Машино объяснение было настоящим открытием и для нее, и для одноклассников, и для меня.

Появился и другой замечательный вариант, логически вытекающий из другого образа положительного числа и идеи, что вычитание – это сложение с числом из противоположного мира.

Положительное число – это отрезок числовой прямой. Соответствующая данному числу точка на числовой прямой – это конец отрезка, отложенного от нуля в сторону заданного положительного направления. При таком подходе очень легко было ввести образ функционирования знака “минус” не только как “отнять”, но и как “симметрично отобразить”, “отзеркалить” на прямой относительно точки ноль.

Итак, еще одно объяснение ответа на загадку, почему
–35 – (–4) = –31.

– Если 4 – 35 – это то же самое, что 4 + (–35), то по такому же принципу –35 – (–4) – это то же самое, что –35 + (– (–4)). А –(–4) – это дважды “отзеркаленная” четверка, то есть в конце концов просто четверка, и получаем: –35 + 4 = –31, – такое рассуждение провела Надя, и оно ни у кого не вызвало принципиальных затруднений.

Казалось, что дело идет к логическому завершению в виде кучи примеров сложения и вычитания с отрицательными числами, заданных на дом, как вдруг поднятая рука:

– А я так и не поняла, почему 4 – 35 = –31? Как это от четырех отнять тридцать пять? Это же ну просто невозможно! Ну, никак! – это Надя К., она второклассница, и у нас на правах гостя, но, как и положено гостю, полноправная участница всего происходящего в классе.

Если честно, то я слегка растерялась.

– Можно, я объясню Наде? – вызывается Маша П.

– Понимаешь, Надь, действительно нельзя от четырех тридцать пять отнять, в этом мире нельзя. А мы в другой мир попадаем. –31 – это отрицательное число. Оно просто из другого мира, и все.

Я слушаю Машу и удивляюсь, как тонко дети чувствуют суть затруднения другого. Ведь Наде было совершенно не важно, сколько здесь получится, ей было непонятно, как вообще здесь что-то может получиться.

И специально для Нади К. мы начинаем изображать числовую прямую и вспоминать, как можно увидеть на ней два разных мира чисел, как легко любое число можно отправить в мир противоположный, приписав перед ним знак “минус”. Я наблюдаю за детьми и вижу, что глаза горят не только у Нади, а и у всех остальных. Значит, все, что происходит, происходит не зря.

Ольга Катышева,
учитель математики,
авторская академическая школа №186 –
Центр вероятностного образования
Нижний Новгород

Ваше мнение

Мы будем благодарны, если Вы найдете время высказать свое мнение о данной статье, свое впечатление от нее. Спасибо.

"Первое сентября"



Рейтинг@Mail.ru